第 1 章 绪论
1.1 工程中的不确定性问题研究
传统的工程结构代写硕士论文系统分析和设计方法均是建立在确定性理论基础上的，对于结构不确定性的处理非常简单，无法定量的表示不确定性因素的影响。因此，所设计的产品，要么由于对系统参数不确定性过于敏感而不能稳定地发挥其效能，要么由于采取过于保守的措施而不经济。在传统的分析设计过程中，所使用的结构计算参数都是一些确定性的量，而实际工程中不确定性因素却是普遍存在着的，比如：不定性、不固定性、不可靠性、不可预知性、随机性、意义含糊、易变性、不完全性、未知然而有界性、不规则性等等。从工程背景来分类，不确定性因素主要体现在五个方面：载荷的不确定性、材料参数的不确定性、几何尺寸的不确定性、初始条件和边界条件的不确定性和计算模型的不确定性。这些不确定性都会对工程结构系统分析和设计需要达到的预期目标和效果产生影响。
理想的工程结构系统数学模型应当包含所有的实验或测量数据，即应能产生实验或测量观察的输入输出的各种各样的数据，显然这是很难做到的。如果在工程结构系统建模过程中忽略了某些误差和不确定性，而这些误差和不确定性又不包含在合理的预期数据中，则不能完全相信基于这种模型的分析和设计是可以用于实际工程结构系统的。虽然在大多数情况下，误差或不确定性可能很小，但这些误差或不确定性累积在一起就可能对结构的分析和设计产生很大影响，尤其是在比较复杂的结构中更为明显。传统的结构分析与设计中，通过采用较大的安全系数的方法来避免结构不确定性的影响，但现已很难满足当代分析设计的要求。由于不确定性在工程领域中的影响深、范围广，其分类也随产生的原因和背景以及对其认识程度的不同而不同。因此，对工程中不确定结构分析方法的研究，具有重要的实际意义和重大的理论价值。
1.2 工程中常用的不确定性
数学模型近代，学者根据信息传播和获知的情况，将人们得到的不确定性信息分为随机信息、模糊信息、未确知信息和灰色信息。但这些不确定性信息最终都是通过数学模型来表达，研究不确定性问题的数学模型主要有以下几种形式：
1.2.1 随机模型
随机数学是一个很重要的数学分支；随机模型是将不确定量看成是随机变量或者随机过程，然后利用概率论和数理统计的方法来研究不确定现象。当把不确定性结构所包含的参数作为随机变量或者随机场，则结构的响应也应该是随机变量或者随机场，再根据概率统计中的相关理论对其随机特性如均值、方差以及相关性等进行处理。在处理随机模型时，需要已知不确定性参数的统计规律或者是概率密度分布函数。当没有足够的数据来验证这些随机参数统计规律的正确性时，随机模型的概率方法的计算结果将难以可靠地得到满足精度要求。
1.2.2 模糊模型
模糊模型，是将不确定量看成模糊变量或模糊函数，然后利用模糊数学的方法研究不确定现象。模糊信息是概念的外延不清晰，不能给出明确的评定标准。对某一事物，尽管不能说出它的明确程度，但可使用区间[0,1]中的某个值α 表示事物的可信度。当α 越接近于“1”时，表明“同”的程度越来越大；当α 越来越靠近“0”时，表明“同”的程度越来越小，即“非”的程度越来越大。当α =1 时，表明与人的认识无差异，即为“同”；当α =0 时，表明与人的认识完全不同，即为“非”。在模糊集合中把“0，1”视为特殊信息归入其中，故模糊信息的值域为闭区间[0,1]，表示“同，异，非”三层含意。采用模糊集理论方法来描述不确定性时，需已知不确定性结构参数的隶属度函数。与概率方法相比较，在很多情况下，确定隶属度函数更为困难，使用者往往带有主观性地选取相应的隶属度函数。
第 2 章 区间参数结构分析及可靠性研究
2.1 引言
在结构的分析和设计中，需要合理地定量处理对结构响应和性能起支配作用的各种参量所存在的不可避免的不确定性，随机理论、模糊集理论和区间分析是解决不确定性问题的三种方法。概率理论在此领域发挥了重要作用，得到较为成功的应用。但概率模型需要较多的数据信息来描述参数的概率分布，而概率数据的小误差可能导致结构的概率计算出现较大误差。因而，概率模型在统计数据较少或计算模型不够精确时，不是一种理想的模型。为使理论模型真实地反映客观实际，建立模型时须尽量减少人为因素的影响，提高分析结果的可靠性。运用区间分析求解不确定性问题，正是这一思想的体现。现有的文献中多数是对区间变量的乘法分解，即一个参数乘以一个常量，且区间的参数大多数都是事先给定的值。
在实际中，对于一个变量只给定了少量信息，只能从中得到区间的上下界，对于区间的参数也只有通过这有限信息处理后得到。可靠性问题的提出源于工程中大量不确定因素的存在。当不确定参量不具有统计特性，或缺乏足够数据用以定义概率模型时，非概率的几何模型是描述不确定性的一种较为理想的选择。作为求取最大界限凸集模型(Maximum Bound Convex Model ，简称 MB) 非概率可靠性指标η的最常用的方法，区间运算(Interval Arithmetic，简称 IA)由于忽略变量之间的相关性，以及其运算过程中不可避免的“误差爆炸”现象，使 IA 所得η往往不能反映结构的真实状态。仿射运算(Affine Arithmetic，简称 AA)是新近出现的处理不确定性的方法。与区间算术一样，仿射算术也能够自动记录浮点数的截尾和舍入误差，此外它还能自动记录各个不确定量之间的依赖关系，正是由于这个额外的信息，使仿射算术可得到比区间算术紧得多的区间，特别在长计算链中优势更加明显。然而，仿射算术在区间参数结构可靠性分析中的应用尚处于探索阶段。即便采用 AA 计算η，不可避免地还会存在误差，例如两个仿射型乘积运算中新噪声的引入，就是对乘积中噪声二次项的近似逼近。此外，仿射算术也不满足分配率。为了克服这些局限性，作者结合仿射型的特性，将矩阵形式的仿射算术(Matrix Form Affine Arithmetic，简称 MAA)和递归导数信息(Recursive Derivative Information)结合，重新定义了矩形区域内二元区间多项式的矩阵形式的上下界公式；并利用该方法(简称 MAARD)替代单纯的 MAA 法，将其引入到具有显式极限状态函数的区间模型的非概率可靠性指标η计算中。
第3章 含有未确知信息的结构分析....................... 61-79
3.1 未确知信息及未确知有理数 ....................61-63
3.2 基于未确知信息的系留气球设备挂架.................... 63-71
3.3 未确知信息板梁组合结构的动力特性分析.................... 71-77
3.3.1 未确知信息板梁组合结.................... 71-74
3.3.2 算例分析.................... 74-77
3.4 结论.................... 77-79
第4章 基于 LEVELSET 方法的连续体.................... 79-97
4.1 结构优化中的水平集方法.................... 79-82
4.1.1 整体柔顺性最小的水平集拓扑优化.................... 80-82
4.2 非概率可靠性约束下的水平集拓扑优化 ....................82-88
4.2.1 非概率可靠性约束的显式化处理.................... 82-84
4.2.2 数值算例.................... 84-88
4.3 基于疲劳可靠性的水平集拓扑优化.................... 88-95
4.4 结论.................... 95-97
第5章 不确定性温度场分析及拓扑优化.................... 97-127
5.1 引言 ....................97
5.2 稳态温度场分析.................... 97-101
5.2.1 稳态热传导方程和边界条件.................... 97-98
5.2.2 稳态热传导的有限元方程.................... 98-99
5.2.3 随机结构的热传导分析....................99-100
5.2.4 算例分析.................... 100-101
5.3 瞬态温度场分析.................... 101-109
5.4 结构热应力分析 ....................109-116
5.5 热可靠性约束下的连续体结构散热.................... 116-126
5.6 结论 ....................126-127
结论
不确定性结构的分析方法近年来一直是工程和研究中的一个重要课题。因为任何实际结构都在不同程度上存在着误差或不确定性。由于结构和结构参数的多样性和复杂性，以及人们认识问题的局限性，很难用一种不确定方法来描述所有的不确定性结构问题。因此根据不确定结构参数的特点研究相适应的分析方法很有必要。随机结构分析方法是最早且最成熟的一种用来分析不确定性结构的方法。它以概率论和数理统计为基础，将不确定性量看成随机变量或随机过程，通过求解响应的数字特征来反映结构响应的不确定性。区间结构分析方法是近年来随着区间数学的出现而产生的一种不确定性结构分析方法，由于它需要的主观信息比较少，只需要知道结构参数分布的上下界即可，因而引起了不少学者的注意。国内外研究成果的不断出现也拓展了它的应用范围。区间结构分析方法是不确定性结构分析中对信息量要求最少的一种方法，这也导致了它的计算结果往往比较保守。未确知结构分析方法是建立在未确知数学基础之上的，主要用来解决具有未确知信息的问题。该方法以未确知变量表示参数的不确定性，相对于随机方法和区间方法有以下特点：(1)该方法从实际数据出发，不需要按照随机模型的方法拟合成某种分布概型，避免了因近似拟合而带来的误差，在一定程度上克服了随机方法对于小样本难以处理的缺陷；(2)充分利用客观的不确定性信息，而不是像区间方法那样仅仅利用结构参数分布的上下界，因而对结果的刻画也更为细致。(3)可以进行信息不完备问题的分析。因此，未确知方法是对其它不确定性结构分析方法的一种有益补充。#p#分页标题#e#
对不确定性参数连续体结构进行拓扑优化是目前拓扑优化领域中前沿性研究课题之一，对它的研究有着很重要的理论和实际意义，但由于该问题的研究难度较大，富有挑战性，迄今为止见到的文献甚少，故对此问题的研究还有很大的空间。本文对不确定性结构拓扑优化做了一些探索性的分析与研究，获得了对随机、区间参数连续体结构的静力分析以及随机参数结构的概率和非概率可靠性拓扑优化方面的一些新模型和新方法，从而得出了一些有意义的结论。在实际的结构分析与设计中有时需要考虑由温变引起的一系列的热效应，此时，也应该对结构进行热分析与设计。热分析的核心问题是先要确定结构的温度分布，即温度场。由于与温度计算有关的一些参数具有不确定性，导致结构的温度场亦具有不确定性，相应地由温度引起的热应力、热变形等呈现出不确定性。在结构分析与设计亦应该考虑这些不确定因素。本文对不确定温度场和结构做了一些探索性的分析与研究，并且对取得了一定的初步研究成果。
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