第一章 绪 论
1.1 研究本课题的背景与意义
常微分方程是数学的重要分支之一,也是偏微分方程、有限体积法、控制论等数学分支的基础.对于微分方程问题,一般只要得到解在若干个点上的满足一定规定的精度的近似值.研究常微分方程初值问题的多种数值解法,通过典型算例比较总结了数值解法优缺点.另外,刚刚过去的金融危机让世界经济元气大伤,其起源是由于没有管理好金融衍生工具而产生的次级债务危机问题,次贷危机的蝴蝶效应(杠杆效应)进而让全球经济动荡不堪.所以对期权这一衍生性金融产品也做了充分的研究,目前在国际金融市场上非常活跃是金融衍生品的交易,如股指期货、利率期货、汇率期货以及相对应的期权交易己常态化.金融市场迅猛发展给金融衍生品定价计算提出了更高的要求.当前国际上各大金融行业都在积极寻求期权定价的有效快速简便方法,本课题的研究对当今的金融事业的发展及稳定启到非常重要的作用.我们重点考虑的是数值解法在期权定价中的应用.期权又称为选择权,是在期货的基础上产生的一种衍生性金融工具,是最重要的金融衍生品之一.1997 年度诺贝尔经济学奖获得者哈弗大学的资深教授 Scholes 和斯坦福大学的教授 Merton.他们对期权定价理论做出了突出贡献.研究期权定价问题对当今金融市场来说有着相当重要的理论价值和实用价值.
1.2 期权定价理论发展过程
期权定价问题的数学理论研究从 20 世纪初就开始了,直到如今还是金融界国内外学者专家所关注和研究的热点.Black-Scholes 期权定价模型作为金融衍生产品发展史上的一个里程碑具有相当重要的研究价值.最早于 1900 年由被称为“金融数学之父”的法国数学家路易斯巴施里耶(Louls.Bachelier)提出[1],巴施里耶利用布朗运动的数学理论推导出了第一个期权定价公式,首次在股票价格运行中引入随机游走的思想得到了著名的欧式期权定价公式.但该模型的不足之处在于股票价格有为负值的情况.而在其后的半个多世纪里,关于这一领域的研究一直没有取得重大的突破.Sprenkle(1961)[2]改进了 Bachelier 期权定价模型,在随机运动中引进漂移克服了股票价出现负值的情况,但参数的估计又难以实现,公式的实用性不大.Boness(1964)[3]考虑了风险溢价这一重要性质,并假设投资者不在乎风险的前提下,利用股票的期望收益率并通过将到期股票价格贴现来计算货币的时间价值从而获得了一个期权定价公式.
第二章 几种常用的数值解法.................................7
2.1 单步法..................................................... 7
2.2 多步法........................................ 12
2.3 数值算例......................................................... 14
第三章 数值解法在数学................................................17
3.1 欧式期权的定价问题.............................................17
3.2 期权定价预测校正格式的............................................... 20
3.2.1 预测校正格式的............................... 21
3.2.2 预测校正格式的................................. 22
3.3 混合差分格式的.............................................. 22
3.3.1 混合差分格式的误......................................... 23
3.3.2 混合差分格式稳定性............................. 23
3.4 数值算例............................................ 24
总结与展望
本文总结了欧拉法,向后欧拉法,梯形法,θ -法,改进欧拉法, Runge Kutta方法,Adams外插公式与Adams内插公式,通过数值算例比较了各种算法的优缺点.针对 Black-Scholes 期权定价数学模型,采用混合差分格式进行数值离散,通过数值实验,证明了该方法得到的期权价格走势与现实金融世界相吻合.首先将 Black-Scholes 期权数学模型等价代换,然后对时间变量采用中心差分商,对空间变量采用五点差分格式,将原偏微分方程离散为一个稳定的混合差分格式,并用Fourer 方法分析该混合差分格式的稳定性和收敛性,通过数值试验证明了该方法的可行性.与其他方法相比较,格式更为简单,也更易于求解.由于时间有限本文还有很多问题要考虑：1.把混合差分格式应用在美式看涨期权定价中,并与其他格式相比较数据结果.2.对连续支付红利的 Black-Scholes 模型进行研究,使精度提高,找出期权定价的最佳使用公式.3.下一步采用高精度差分格式离散时间层,寻找期权定价最优解法.
