1 引言
1.1 研究目的及其意义
在地统计学（亦称地质统计学和空间信息统计学）领域中，半变异函数定义为区域化变量在空间两点处之差的方差的一半，它的获取至关重要，直接影响空间信息的随机性和结构性表达，以及空间上未知点的克里格估值[1-5]。但是，由于采样点往往是离散的，半变异函数很难直接求得。因此，它的获取常常是在计算实验半变异函数的基础上，选取半变异函数的理论模型，并对其进行拟合，求解出块金值 C0、偏基台值 C 和变程 a 等重要参数，然后用半变异函数理论模型替代。半变异函数是地统计学中的重要工具，而理论模型参数的求解又在半变异函数的获取中起着十分关键的作用。半变异函数的理论模型包括非线性模型、线性模型和孔穴效应模型。非线性模型有球状模型、指数模型、高斯模型和幂函数模型等，线性模型包括线性有基台值模型、线性无基台值模型和纯块金效应模型等[6]。其中，理论模型中的块金值 c0、偏基台值 c 和变程 a，在不同研究领域中分别代表着不同的物理意义，是描述区域化变量随机性和结构性的重要参数。尤其在空间各向异性、二级或多级套合结构中，对适用于区域化变量理论的自然现象的空间描述需要更加精确，因此模型参数会自然增多。无论哪个参数出现较大误差，都直接影响自然现象空间信息的准确描述，甚至会得出与实际状况不相符合的结论。因此，选取一种较好的拟合方法在获取半变异函数过程中就显得十分重要。
在地统计学研究初期，研究人员常常用实验半变异函数值人工拟合半变异函数理论模型曲线。这种人工拟合方法，虽然简单方便，但带有很强的主观性，误差自然很大，不利于理论模型自动拟合的实现。目前，对于半变异函数理论模型参数的求解，主要采用相关的数学理论和方法，如成熟的线性化方法（如加权多项式回归拟合、线性规划拟合和目标规划拟合等）和具有发展潜力的非线性化方法（如牛顿法、高斯牛顿法、共轭梯度法、马夸尔特法、进化算法和积分理论等），避免主观性，尽量减少人为带来的误差，增进半变异函数理论模型拟合的自动化进程。线性化方法虽然在拟合半变异函数理论模型方面十分成熟，能够成功求解出理论模型的参数。但是，线性化方法也逐渐暴露出了越来越多的问题，譬如拟合出的参数值会因为不符合实际物理意义而失败，或线性化处理过程中的变量替换增加了拟合误差。
1.2 研究现状
地统计学从 20 世纪 50 年代初期至今，经历了 60 年左右的发展。目前，出现了许多计算半变异函数的方法。半变异函数是空间变异性的一种测度方法，是地统计学研究的基本工具之一。王仁铎等学者考虑了权重因素，提出了加权多项式回归拟合法，该方法充分考虑了实验半变异函数前 3、4 个点的重要性，按照最小二乘法原理得到理论模型的重要参数块金值、偏基台值和变程。优点是通过加权考虑了计算实验半变异函数不同滞后距下的数据对数目对实验半变异函数计算结果的可靠性影响，并以数据对的数量为权进行拟合。不足之处在于拟合出来的参数值可能为负值，理论模型的线性化处理增加了误差。
2 半变异函数球状模型优化算法............................... 5
2.1 地统计学及半变异...................................................... 5
2.2 加权线性规划法................................... 9
2.3 加权二次规划法 .................................. 13
2.4 遗传算法 ......................................... 14
2.5 模式搜索 ..................................... 21
3 球状模型加权线性........................................ 23
3.1 实验数据及........................................ 23
3.2 模型构建............................................. 23
4 球状模型加权二次................................................... 27
4.1 实验数据及....................................................... 27
4.2 模型构建....................................... 27
5 球状模型遗传-模式搜索...................................... 31
5.1 遗传算法优化...................................... 31
5.2 模式搜索法优化............................................ 32
7 结论与展望
7.1 结论
笔者考虑空间各向异性，运用3种算法分别对球状模型2次套合结构进行了优化，并做出对比分析。加权线性规划法适用于可线性化的理论模型，多次变量替换增大了映射误差。论文运用加权线性规划理论拟合半变异函数球状模型 2 次套合结构，由方程组非负解理论解决了理论模型参数的正负号问题，即不可能出现参数为负值的情况，克服了其它传统算法譬如加权多项式回归法求解理论模型参数为负值的缺陷。通过具体算例，说明加权线性规划法只是对部分数据段拟合的误差较小、效果较好，但是从整体拟合效果上看，它拟合半变异函数球状模型 2 次套合结构依然存在较大误差，主要是由于线性化处理时变量替换产生了较大的映射误差。另外，该算法不能适用于不能线性化处理的理论模型。加权二次规划法仍适用于可线性化的理论模型，相比加权线性规划法，它降低了整体误差，优化效果较好。通过对加权线性规划法数学模型的观察，发现其目标函数是半变异函数拟合值与实验值之差的绝对值，而非拟合值与实验值之差的平方，这与许多优化算法无法直接进行对比分析。于是，论文提出加权二次规划法并实现了对半变异函数球状模型 2 次套合结构的优化。通过具体算例，发现该算法对部分数据段拟合误差很小、效果很好。相比加权线性规划法，整体误差降低了许多。但是加权二次规划法依然存在一些不足，譬如在优化之前，与加权线性规划法相同，需要对球状模型 2 次套合结构进行线性化处理，其变量替换无疑增加了映射误差。另外，该算法也无法适用于不能进行线性化处理的理论模型，其适用性收到限制。
遗传算法和模式搜索法组合算法不但适用于可线性化的理论模型，而且适用于非可线性化的理论模型，对各个数据段的拟合效果都较好，把整体误差降低到最小，优化效果很好。遗传算法与模式搜索法无须理论模型满足线性、连续可微等条件，论文把它们结合在一起对球状模型 2 次套合结构进行了优化。首先，用遗传算法对模型进行优化，得到其优化结果，其次，用该优化结果作为新起点，继续用模式搜索法对模型进行优化，最终得到了十分理想的优化结果，相比前 2 种优化算法，该组合优化算法对各个数据段的拟合效果都较理想，没有出现只对某一数据段的拟合效果好，而另一数据段拟合效果差的现象。并且优化算法过程中没有进行变量替换，把误差分散到各个数据段，从而把拟合误差大大降低到最小。
