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【摘要】随着教育改革的深入发展和素质教育的进一步实施, 数学开放题的教育价值已被越来越多的数学教师所认同。新的国家课程标准中已为数学开放题在中学数学教育中争得一席之地, 它打破了传统封闭题长期一统天下的现状, 这必将为在数学教育中实施素质教育、促使数学教师培养学生的创新精神和创新能力产生巨大的影响。但开放性试题的不确定性与评分标准的主观性,又使得它的运用受到局限，同时关于数学开放题的含义、编制、教育价值以及开放题的教学讨论很多, 而如何评价开放题的问题研究较少。本文着重就对数学开放题现状情况进行简单的评述。
【关键词】数学开放题 评价 创新
数学开放题是20世纪70年代在国际上引起人们重视的一种新的题型, 数学开放题在过去的教学中曾经有过很多的例子, 但是作为中小学数学教育的研究课题,还是近三十年的事。
在现代这个资讯技术和网络经济迅速发展变化的、开放的新技术革命的社会里, 为了适应数字化的生存, 要求教育培养出有更高数学素质、能吸收新的想法、对付模棱两可的事件具有更强的创造能力的人。因此人们在对历史的反思中认识到, 数学教学模式应在综合化的过程中达到优化。所以西方各主要国家接受了美国数学教师协会( NTCM)19xx年提出的“问题解决是学校数学的核心”的口号。而在教学模式单一化、不重视个性发展的东方, 则提出了开放题( open- endedproblem) , 以它为载体来构建新教学模式, 弥补数学教学开放性、培养学生主体精神和创造能力的不足。在当前人们感叹教育科研成果难以转化为教育行为的社会环境中, 数学开放题闪亮登场, 确实带来了不小的冲击力。
一、我国数学开放题研究工作的分段
19xx年, 以岛田茂为首的一个日本学者群体, 率先研究“开放式结尾问题”, 并于19xx年发表了名为《算术、数学课的开放式问题———改善教学的新方案》[1]的报告文集，从而引起了我国数学教育界的关注.我国的研究工作可分为三个阶段：
（一）酝酿阶段（19xx年～19xx年）
在长达13年的时间中, 有一些学者如王慧斌、王凝等发表文章[ 2][ 3] 介绍一些有关数学开放题的研究动态。在19xx年、 19xx年戴再平和林瑞分别分别进行过一次数学开放题与封闭题对创造能力培养的关系的测试,并就研究进一步分析。
（二）教学实施阶段（19xx年～19xx年）
19xx年, 应日本国立教育研究所( NIER) 的邀请, 笔者参加由张奠宙教授、于琛教授、邹一心编审、袁小明校长和黄建弘校长组成的6人访问团, 去东京出席“中日数学教育共同研究会”, 会议中与杉山吉茂、泽田利夫、桥本吉彦等日本元老研讨数学开放题教学是其中的主要议题之一.次年3月至6月期间, 我们就在浙江省杭州市、湖州市和德清县的初级中学进行了数学开放题课堂教学的试验.
（三）深入发展并确立为政府行为阶段（19xx年以后）
19xx年2月, 全国教育科学规划办公室批准课题“开放题———数学教学的新模式”立项, 使之成为我国“九五”教育科学研究规划重点课题.
19xx年11月, 课题组在上海市金汇学校召开了“数学开放题及其教学”学术研讨会。此后由课题组及上城区教师进修学校、江干区教师进修学校分别合办的“西湖之春———小学数学开放式教学研讨会”( 20xx年4月)“全国中学开放式教学研讨会”( 20xx年11月) 在杭州市举行。
19xx年, 教育部启动新中国建立以来的第八轮基础教育课程改革, 颁布的《中国基础教育课程改革指导纲要》指出“教科书是教学内容的重要载体, 应体现?开放性”,“改变学生的学习方式, 增加课程的开放性”.20xx年3月, 教育部发布《关于20xx年初中毕业、升学考试改革的指导意见》, 明确指出“数学考试应设计一定的?开放性问题”, 教育部制订颁布的《全日制义务教育数学课程标准( 实验稿) 》[ 7]《普通高中数学课程标准( 实验) 》[ 8]( 20xx年4月) , 以及作为新课改时期过渡性的《高中数学教学大纲( 修订稿) 》《初中数学教学大纲( 修订稿) 》和《义务教育全日制小学数学教学大纲( 试用修订版) 》中都出现了许多有关开放题的内容。
综上所述, 数学开放题迎合时代发展的需要, 是推进素质教育、培养学生创新精神的切入口. 事实表明,我国教育行政部门已正式肯定数学开放题的作用和地位, 提倡数学开放题已是我国的政府行为。
二、我国对数学开放题认识的概况
1、何谓数学开放题
什么是数学开放题? 这至今仍是一个仁者见仁、智者见智的问题.比较常见的看法有—
◆开放题是和封闭题相对而言的. 一个数学开放题, 若其未知的要素是假设, 则为条件开放题; 若其未知的要素是推理, 则为策略开放题; 若其未知的要素是判断, 则为结论开放题; 若问题只给出一定的情境, 其条件、解题策略与结论都需要在情境中自行设定与寻找,则为综合开放题.
◆数学开放题是指那些答案不惟一, 并在设问方式上要求学生进行多方面、多角度、多层次探索的数学问题.
◆探究性题就是数学开放题.
数学开放性试题是相对于条件和结论明确的封闭题而言的，是指能引起学生发散性思维的一种数学试题，它的条件、问题变化不定型，有的条件隐蔽，有的条件多余，有的结论不一，有的解法多种等。开放题的核心是考查学生运用数学知识解决问题的能力，激发学生独立思考和创新的意识，这是一种新的教育理念的具体体现。
2、数学开放题常见的形式有以下几种：
其一是给出条件，没有给出明确的结论，或者结论不确定的问题，需要解题者探索出结论并加以证明；
其二是给出结论，没有给出条件的问题，需要解题者分析出应具备的条件，并加以证明；
其三是改变已知问题的条件，探讨结论相应地会发生什么变化，或者改变已知问题的结论，探讨条件相应地需要发生什么变化；
其四是从实际问题出发，给出一些数据，通过对数据的分析，建立数学模型，使问题得到解决。
3、数学开放性试题的特点
戴再平认为数学开放题一般具有以下几个特点：
①问题的条件常常是不完备的；
②问题的答案是不确定的，且具有层次性；
③问题的解决策略具有非常规性、发散性和创新性；
④问题的研究具有探索性与发展性；
⑤问题的教学具有参与性和学生主体性。
而刘萍认为开放题具有以下特点：
①非完备性：在开放题中，要么条件不充足，要么结论被隐去，要么解题方法和依据不明确，因而其组成要素是不完备的。
②不确定性：对于条件开放题而言，其条件可能是多种多样的；对于结论开放题而言，其结论是不确定的；对于策略开放题而言，其解题策略和依据是不唯一的；对于综合开放题而言，它只是给出一定的问题情景，其条件、解题策略和结论都需解题者在情景中去寻找和设定。
③发散性：在解答开放题时，必须打破原有的思维模式，展开联想和想象的翅膀，从多角度、多方位寻找答案，因而思维模式和方向呈现出发散性。
④探究性：开放题的解答没有固定的、现成的模式可循，解题者必须要进行主动思索，来设计解题方案进行解答，因而，开放题的解决需要具有大胆的探索精神和一定的探索能力。
⑤层次性：解答开放题的多样性，决定了它能够满足不同层次学生的需求，使他们都能在自己的能力范围内探索问题，从而体现出层次性。
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⑥发展性:开放题能够引起学生认知结构发生质的变化，使他们的知识和能力得到较大程度的发展和提高。
⑦创新性：在解答开放题的过程中，可能会引出新的问题，也可能会归纳出更一般的问题，因而，开放题有利于培养学生的创新意识和创造能力。
4、开放型试题的类型
其类型包括条件开放型、结论开放型、策略开放型、综合开放型、解法开放型、情景开放型、设计开放型、信息开放型、实践开放型等。
5、数学开放题在我国基础教育数学学科教育研究的状况
①国外有关数学开放题的信息进一步传入我国；
②编制出了一批具有中国特色的数学开放题, 开放题开始进入课本；
③数学开放题的教学试验广泛进行, 形成了不少优秀的教学设计；
④开放题开始进入数学中考试题和数学高考试题。20xx年, 由于教育部发布指示, 中考设置数学开放题已成普遍的现象。
⑤数学开放题的研究成果大量涌现, 研究队伍迅速扩大。如：在19xx年上海举办“‘数学开放题及其教学’学术研讨会”时为75篇, 以后以每2.2年翻一番的速度剧增, 至今已达900篇左右。
三、数学开放题及其教学研究中存在的问题
一般说来,开放性试题是与封闭性试题相对的、没有固定答案或唯一结论的一种试题形式,它在很大程度上弥补了封闭性试题的种种不足,特别在考查学生思维的灵活性和广泛性,考查学生的实践能力和创新意识,以及情感、态度、价值观等方面有着封闭性试题所无法取代的优点。开放性更符合新课程发展性评价理念,在新课程的学业成绩评价中应大力加以提倡。但是以往的开放性试题在评分上带有比较明显的主观随意性,这一问题不解决,开放性试题就难以进入学业成绩评价、特别是高利害和大规模的学业成绩评价之中。当前问题主要是：
1.对数学开放题及其教学的理论研究不够深入, 综述性论文首篇是拙著《数学习题理论》( 第2版) 一书第八章[ 12] , 目前除了课题组发表的研究成果———“中小学数学开放题丛书”第五卷[ 13] 之外, 其他理论著作和论文屈指可数。
2.数学开放题出版物数量虽然激增, 但基本属于习题集, 相互间雷同度较大, 有些甚至进行抄袭剽窃; 一些丛书中, 探究题、多解题和脑筋急转弯题都当作开放题,对“数学开放题”概念理解往往过于泛化, 虽然是好心,但不利于对数学开放题的进一步深入研究.
3.为大众瞩目的中考和高考中开放题所占分量较少.如20xx年, 据我们大样本抽样, 我国大陆“ 分布在31个省、市、自治区( 缺西藏) 的54份中考数学试卷( 合计1544道题) , 其中含有开放题的仅有24份试卷( 占44%) , 共计29题, 仅占总题量的2%[ 14]”.上述数据在以后几年中没有多大变化.高考中的开放题为数更少, 但有的教师却认为“ 开放”已是20xx年的全国高考数学试题的“ 主旋律[ 15] ”, 当然这只是不同的学术见解.20xx年全国高考数学( 文) 第22题是一道好的开放题, 从该题的结论来看, 属于( 个数) 无穷( 解题策略) 混沌型[16] .它是在教材和众多的复习资料中难以见到的一个开放性题, 对复习中“题海战术”的弊端是一次冲击, 但是考试中心所提供的答案却仅有一个, 在题目中也看不出有无穷多答案的引导, 可见命题者视该题为答案惟一的封闭题.由此可见,建设一支有改革创新意识的命题队伍是教育部和各省、市、自治区的当务之急.
4.教师的培训工作没有跟上.数学开放题是一个新的、有实质性内容的课题, 在不少培训班中, 特别是各级骨干教师培训班中却未被列入.
5.各级教育科研课题中, 已有不少数学开放题, 但有成效并将成果公布于众的不多, 特别是在数学开放题中占70%以上的“有限混沌型”和“无限混沌型”题目, 在不少教辅材料中, 往往举两三个解答就了事, 难以发挥开放题培养学生创新精神的作用.这一问题似乎还没有得到教师和研究工作者应有的重视.我们希望有更多的教师和研究工作者能创制新的数学开放题、提供数学开放题的教学案例.
由于开放题还是新事物, 许多教学措施还不完备, 理论上的思考也欠深入。有些开放题教学和试题评价上出现“开而不放”的现象, 更是前进中难以避免的问题。但无论如何, 因为创新教育的提出、 发散思维的要求、学生探究教学的兴起,都可以用开放题为载体，所以开放时代研究开放题, 说它成为时代的产物, 并非偶然。我们希望, 这朵具有中国特色的数学教育鲜花, 能够在未来中国数学教育进步中昂首绽放。
参考文献：
［1］王慧斌.数学教学新方法:开智法简介［J］.外国教育资料，1988（1）.
［2］王凝.中小学数学的开放式教学法评介［J］.中国人大复印资料G35,1988（4）.
［3］戴再平.中学数学教学培养创造思维能力雏议.浙江教育学院学报，1984（1）. ［4］胡林瑞.国外数学题的一次测试所见［J］. 数学教学,1990（3）.
［5］中华人民共和国教育部.全日制义务教育数学课程标准（实验稿）［M］. 北京：北京师范大学出版社，20xx年.
［6］中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（实验）［M］.北京：北京师范大学出版社，20xx年.
［7］戴再平.数学习题理论［M］.上海：上海教育出版社，19xx年.
［8］单庆国，戴再平.中考数学开放性试题存在的两个问题［J］.数学教学，2003（1）.
