第一章绪论
1.1肿瘤生长问题的历史背景与发展
肿瘤是威胁人类健康的主要杀手之一，虽然已在肿瘤的研究领域投入极大的资源，但防治肿瘤依旧面临着很多困难.对肿瘤生长规律的研究有助于人们认识肿瘤的生长特点，寻找控制甚至医治肿瘤的措施.为了定性地研究肿瘤生长的规律，必须系统地建立肿瘤生长的数学模型，并对其进行严谨的数学分析.这不仅可以指导人们深入系统地了解肿瘤的形成及其发展变化的机理，而且有助于启发其新的疗法，同时这是建立严谨的现代肿瘤医学理论所必需的，因此它具有重要的科学意义.目前，肿瘤生长模型的建立和定性的数学分析己成为数学生物学和理论医学领域的一个很重要的研究课题.
从上世纪二、三十年代起，通过实验和研究人们发现：肿瘤的生长和其他生命体的生长一样，遵循一个相同的数学规律，即在最开始的一个较短的时间里，体积近似的按指数规律增加，随后体积的增加越来越慢，最后这种增加的趋势逐渐消失，而是体积趋向于一个有限的极限.为了探査明白导致产生这种肿瘤生长的数量变化规律的内在机制，并揭示肿瘤生长过程中各类物质（各种肿瘤细胞、各种营养物质、各种抑制物质等）的发展变化及其相互作用的数量规律，人们开始使用数学方法来研究肿瘤生长机理，因此建立了很多肿瘤生长的数学模型.最初，建立的肿瘤生长模型基本上全是常微分方程模型.在这些常微分方程模型中，最著名的是Gompertz模型[1]：
肿瘤生长的常微分方程模型虽然能够很好的与实验数据相吻合，但它是作为先验假设提出的，缺乏基本的生物学和医学方面的解释.这时候运用偏微分方程来建立肿瘤生长的数学模型就很有必要了.早在二十世纪七十年代人们就发现，肿瘤生长的基本规律可以表述为偏微分方程的自由边界问题.显然，肿瘤生长过程中它的体积不会无限增加是由于肿瘤内细胞的繁衍和死亡达到了某种平衡引起的.依据这一思想，1972年，H.Greenspan通过考虑肿瘤内的营养物质、抑制物质的反应扩散效用和由此引致的细胞的繁衍与死亡，提出了用一个偏微分方程组的自由边界问题来描述肿瘤的生长的模型.这个模型在一定的近似假设下可以简化成常微分方程模型.当时间趋于无穷时，肿瘤的半径区域一个有限的极限.1995年及以后的几年里，H. Byrne和M. Greenspan克服了 Greenspan的模型的缺陷，对Greenspan的模型作了修改.其中，由H. Byrne和M. Chaplain提出的模型[5,6]耦合了一个积分微分方程和两个反应扩散方程，其中积分微分方程用来描述肿瘤边界的变化(为自由边界的运动方程)，而两个反应扩散方程分别用来描述肿瘤中营养物(氧和甙糖)的分布和抑制物(生长抑制因子、药物、放射线等)的分布.
此后，许多数学模型工作者不断发展这些思想，提出了一系列以偏微分方程的自由边界问题的形式来表述肿瘤生长的模型，从各个不同的侧面对肿瘤生长的机理进行了讨论.下边就是要针对这个课题来研究下肿瘤在药物化学治疗下的生长情况，并对其作严谨的数学分析.目前，肿瘤生长的数学模型已经成为数学生物学领域的一个重要的研究方向.自1999年起，这些描述肿瘤生长的偏微分方程模型的严格数学理论分析问题引起了以国际著名偏微分方程专家和应用数学专家A. Friedman院士及其合作者等一批偏微分方程研究工作者的极大兴趣，成为偏微分方程领域的一个新的热点课题.由于这一课题以肿瘤医学为直接应用背景，在数学上有相当难度和理论意义，吸引了一大批偏微分方程研究者的关注，己获得了很多出色的研究成果.
第一章 绪论...................................1
1.1肿瘤生长问题的历史背景与..................................1
1.2相关符号及预备引理..................................4
第二章一个肿瘤化学治疗空间结构模型..................................7
2.1问题和主要结果..................................7
2.2问题的简化..................................9
2.3局部解的存在唯一性..................................10
2.4整体解的存在唯一性..................................13
2.5稳态解..................................14
第三章一个胶质瘤生长模型的定性..................................16
3.1问题和主要结果..................................16
3.2局部解的存在唯一性..................................18
3.3整体解的存在唯一性..................................24
结论
本文对上述两个肿瘤生长的数学模型进行了严格的数学分析，主要解决了抛物型方程组解的局部适定性、解的整体适定性和稳态解的存在性问题.解决第二章问题的思路如下.证明解的局部适定性问题时，要先将模型化简，首先做适当的等价的变量替换，使原模型转化为我们易于研究的模型，即将其转化为一个与之等价的在固定区域.由新模型与原模型的等价性知，原模型的整体解存在唯一.最后，在前两部分成立的基础上研究稳态解的性质.在模型满足另外一些条件时，通过利用反应扩散方程理论中的上下解方法，得到其稳态解的存在性、解的个数和分布情况及稳态解在t ― 00时的性质.对第三章模型的研究，思路同第二章模型的类似，首先运用schauder不动点定理证明解的局部适定性，然后运用延拓法证明此局部解是整体适定的.
本文的研究丰富了的肿瘤在化学治疗下的生长情况的内容，将有助于人们认识肿瘤的生长规律及其生长特点，对控制和治疗肿瘤有重要的科学意义.这个课题不仅有很强的应用背景，而且许多问题的解决需要用到偏微分方程、泛函分析等领域的一些数学理论，也有其独特的数学理论价值.由于对肿瘤生长问题的严谨的数学分析的研究只有二十多年，这里的研究成果所涉及的数学应用只是冰山一角.随着时间的发展，这类相关课题的研究将会用到更多更深的各类数学理论，并且将为数学理论的发展提出一些新的研究课题.
