第一章 引言
1.1 数学物理反问题与不适定问题
在自然科学和工程技术领域中, 许多实际问题都可以运用数学模型来进行描述. 当针对具体的物理问题建立了相应的微分方程（定解问题）来刻画物理过程时, 我们首先要考虑的就是该问题提法的合理性, 即微分方程的可解性问题, 然后才能考虑该问题的求解方法. 阿达玛（Hadamard）在1923年针对微分方程的定解问题提出了问题适定性的概念[2],如果一个微分方程的定解问题同时满足如下条件:（1）问题的解存在（存在性）;（2）问题的解唯一（唯一性）;（3）问题的解连续依赖于定解条件（稳定性）.则称这个问题是适定的.
如果上述三个条件中, 至少有一个条件不满足, 则称该问题是不适定的.在很长的一段时间里, 人们都认为从实际问题抽象出来的数学模型, 如果模型是物理问题的正确描述, 则问题总是适定的. 因此, 人们认为只有适定的问题才有意义, 才可以用数学方法加以解决. 但是, 随着科学技术和工程应用的发展, 人们渐渐地发现, 许多描述自然现象的数学模型在某些条件的限制下不满足上述三个条件, 这就是所谓的不适定问题. 直到上世纪五十年代中期, 在研究地球物理观测数据的触发下, 才引发人们对不适定问题的关注, 进而人们又发现波动方程、热传导方程和椭圆型方程的三类古典不适定问题都具有实际意义, 继而引发了人们对不适定问题的大量研究工作. 而与不适定问题密切相关的一类问题就是反问题, 因为大多数的反问题都是不适定的.我们很难给出反问题的一个明确定义, 美国斯坦福大学的数学教授 J.B.Keller 在1976年提出[3]: 一对问题称为是互逆的, 如果一个问题的构成（已知数据）需要另一个问题解的部分信息. 把其中的一个问题称为正问题（direct problem）, 另一个问题就是反问题（inverseproblem）. C.W.Groetsch 在文献[4]的开篇就指出, 反问题是很难定义的, 但是几乎每一个数学家都能很快判断出一个问题是正问题还是反问题. 反问题的一个比较适用的数学定义是:“由定解问题的解的部分信息去求解定解问题中的未知部分”,
第二章 有限体积法求解非齐次变系数的热传导反问题
热传导反问题产生于热物理学和连续介质力学中热传播的模拟和控制过程, 在许多工业及工程应用问题中, 人们往往需要确定一个物体的表面温度分布或表面热流, 但又无法在物体表面进行直接测量. 这就需要我们通过可测量物体边界上的温度和热流量或可测量物体内部一处或者几处上的温度来确定不可测量边界上的未知温度和热流量, 这一问题就是众所周知的热传导反问题, 这个问题是不适定的, 表现在其解不连续依赖于给定的边值和内部测量点上的数据, 且微小的扰动会导致数值解和精确解之间的巨大误差. 该问题已被许多学者以不同的方法研究过, 比如: 基本解方法[14,15], 有限元方法[16,17], 边界元方法[18,19], 边界积分法[20,21], 有限差分法[22 27], 奇异值分解方法[28,29,30], 小波和Fourier方法[31,32], 以及一些其它方法[33 39].本文采用有限体积法解决了非齐次变系数的热传导反问题, 后面给出了数值算例来说明该方法的有效性.
第二章 有限体积法求解非齐次变系数.............................7
2.1 问题的数学描述............................................7
2.2 有限体积法............................................8
2.3 差分格式的稳定性............................................12
2.4 未知 Robin 边值问题的............................................13
2.5 数值试验............................................16
第三章 约束最优扰动法求解............................................19
3.1 问题的数学描述............................................19
3.2 约束最优扰动法............................................20
3.3 谱投影梯度法(SPG)............................................21
3.4 初值问题的敏感性............................................22
3.5 约束最优扰动法的............................................24
3.6 数值试验............................................25
第四章 论文的总结与展望
数学物理反问题是一个广泛存在于自然科学和工程技术领域的前沿问题, 对该问题的研究具有巨大的经济效益和社会效益, 同时也具有较大的难度. 目前, 对反问题的理论研究和数值求解方法是许多数学和工程技术工作者的重要研究内容. 本文在阅读了大量参考文献的基础上, 在寻找更加合理、有效的数学物理反问题的数值求解方面做了有益的尝试.本文第二部分采用有限体积法解决了一类含有非齐次变系数项和未知 Robin 边值条件的热传导反问题, 数值结果表明, 有限体积法结合加权系数法求解该问题是有效合理的, 尤其在解决未知的边值条件时, 具有明显的优势. 第三部分提出了约束最优扰动法求解了一类含有非线性源项的逆时热传导问题, 这是一种全新思路的求解反问题的新方法,通过数值实例验证, 约束最优扰动法是计算初值反演问题的一种合理的、可行的数值方法, 并且数值稳定性较好.
由于时间有限, 本文还有许多问题需要完善和继续研究, 例如:（1）本文在采用有限体积法求解反问题时, 采用的是均匀的矩形网格进行离散的, 我们在尝试使用非均匀网格或者三角网格进行数值计算.（2）本文使用约束最优扰动法求解逆时热传导问题过程中,离散常微分方程时采用的欧拉格式, 精度较低, 导致误差累积, 时间越长, 计算的结果误差越大. 另一方面, 我们采用的是谱投影梯度法计算最优扰动结果的, 这种计算过程中采用差商代替偏导数, 导致在时间靠近零点时, 结果不好, 我们尝试采用启发式优化算法计算最优扰动值, 比如差分进化算法、遗传算法等. （3）在本文的基础上, 我们可以进一步研究二维、三维等高维数学物理反问题的数值求解问题. 同时, 我们正在运用约束最优扰动法反演结构参数问题, 目前已经有比较好的计算结果, 正在进行最后的论文整理工作.
