第一章 金融数学发展的基本情况
1.1 金融数学发展史
上个世纪九十年代开始，美国华尔街出现了这样一种情况，就是金融界公司对数学专业毕业生的需求量突然增多，甚至有些公司不惜耗费巨资资助数学家通过建立数学模型，发展数学和金融理论来帮助研究他们所关心的金融问题。究其原因，是金融业界已经认识到利用数学工具解决金融问题的可行性和重要性。诸如此类的研究课题促进并逐步发展成为了一门新兴学科——金融数学。 金融数学是一门融合了数学与金融学的综合学科。它通过把数学理论、统计学理论（模型）与金融理论相联系，来解决现实应用中的问题。它的研究价值在于通过数学理论、统计理论、计算机科学技术发现论证金融经济运行的规律，它的应用价值在于通过数学、统计学工具对金融产品进行数量化分析。金融学和数学理论的共同进步和交叉发展必然促进了金融数学理论的快速发展。 早在 1900 年左右，年轻的巴舍利耶· 路易斯就已经认识到了 Wiener 过程的一些重要性质。在他的博士论文中，他用布朗运动来描述股票的价格，并且给出了欧式看涨期权的定价公式，这标志着现代金融数学的开端。因为当时有关布朗运动的严格数学理论还未建立，此外直接用布朗运动描述股票价格也有一定的缺点，这些都导致了巴舍利耶的工作在他那个时代并没有引起人们的充分重视。1952 年，诺贝尔经济学奖获得者 Markowitz 在他的博士论文[1]中首次提出了投资组合的选择（Portfolio Selection）理论，这被认为是现代金融数学的一次重大突破。他考虑对于多支股票的投资而言，怎样的投资组合才能够最有效地降低风险？他认为一个正确的投资思路不能只是追求使得期望收益最大化，而应该是追求收益的期望效用最大化。同时，不同以往只考虑收益率的方差作为风险因素的度量，他提出了均值方差分析方法用于实现投资分析中的收益期望效用最大化，并收集了大量数据模拟建立了常规情况下的有效投资组合边界，最后根据效用函数确定了最优投资组合。
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1.2 一些常见的金融衍生品
金融衍生品是指价值依赖于标的资产价格变动的合约，按照交易场所和合约规格往往分为标准化合约与非标准化合约。标准化合约大多都在交易所进行交易，其标的资产的交易价格、交易时间、交易方式等都是事先被标准化的；非标准化的合约相对灵活性较高，其交易方式、时间、价格等都由交易双方自定。 金融衍生品的主要作用是规避风险和价格发现，具有零和博弈、高杠杆性的特点。通常情况下，缴纳的保证金越少，风险越大、杠杆效应越大。套期保值者将巨大的风险转移给投机者，是金融衍生品市场的常见策略。 金融衍生品根据产品形态，主要可分为四大类：分别是远期合约、期货合约、期权和互换。远期合约和期货合约这两种交易形式在某些方面有着共同的特点，比如它们都是交易双方约定在未来某一指定的时间，以特定价格来买卖特定数量资产；远期合约和期货合约之间的不同是：期货合约是标准化合约，是由期货交易所制定的。期货合约对买卖资产的种类、数量、质量以及合约到期日在合约上都做出了统一规定。而远期合约则是非标准化合约，相对期货合约来说，它的流动性较强，是根据买卖双方的特殊需求而自行签订的合约。 远期（forward）合约作为一种保值工具的主要特点是：在交易双方共同约定好的未来某一确定时间，以约定好的价格买卖一定数量质量的实物或金融资产标的。远期合约承诺于当前，交易于未来，是必须履行的协议，不同于期权具有可选择放弃履行合约的权利。因为远期合约是现金交易又是场外交易，故交易双方共同承担着一定未知风险。远期市场中常用的两个术语分别是“溢价”和“差价”n：当即期价格小于远期价格时，我们把这种市场状况描述为正向市场或溢价（Contango）；当即期价格大于远期价格，把这种市场状况描述为反向市场或差价（Backwardation）。一般情况下，远期价格是“交易时的即期价格（Spot price）”和“持有成本（Carry cost）”（具体依据所交易商品的实际状况，持有成本需要考虑的因素包含存储、风险和运输等）作和得出。为了防范违约风险，远期合约双方往往采用抵押品来控制风险。
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第二章 理论准备
2.1 基本理论以及金融衍生品定价的数学工具
普通欧式期权的收益只依赖于期权到期日的资产价格 K，而与其路径无关。而我们接下来讨论的障碍期权是一种路径相关期权，所谓路径相关期权即是期权最终收益不但与到期日资产价格有关，同样依赖于资产价格的变化过程。 按照资产价格到达设定障碍水平后的期权状态，可将障碍期权分为敲出期权（knock-out options）和敲入期权（knock-in options），分别意味着当资产价格到达设定障碍时，期权“失效”或“生效”。根据期权在有效期内的原生资产价格大于或小于障碍值，可将期权分为下降或上升敲出（敲入）期权。同时又因为欧式期权分为“看涨”和“看跌”两大类，因此，障碍期权的收益函数可细分为 8 种基本类别[25]。
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2.2 Black-Scholes 方程
Black、Scholes 以及 Merton 对金融市场的基本假设如下： 1 资产价格演化遵循几何布朗运动： ，这里 是期望回报率（常数）， 是波动率（常数）； 2 无风险利率为常数 ； 3 原生资产不需要考虑是否支付股息； 4 同样不需要考虑是否支付交易费或税收； 5 无套利机会。 假设在 t 时刻构造 这样的投资组合（V 代表期权的价格，S 代表股票现价， 代表购买股票的份额），并在时段 内，份额 的值不作改变（市场是自融资的），假设该投资组合是无风险的.
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第二章 理论准备 .... 8
2.1 基本理论以及金融衍生品定价的数学工具 ......... 8
2.2 BLACK-SCHOLES 方程 ........... 12
2.3 经典的障碍期权 ........... 13
第三章 固定路径下双边界敲出障碍期权的定价研究 ...... 15
3.1 问题背景 ....... 15
3.2 双常数边界敲出障碍期权的定价技术方法 ....... 15
3.3 双边界敲出障碍期权定价公式 ........... 18
3.4 主要定理证明 ....... 20
第三章 固定路径下双边界敲出障碍期权的定价研究
3.1 问题背景
金融数学领域中已经有很多学者做过关于障碍期权的定价研究。1992 年，Merton[26]在他的文章中给出了具有连续可控低敲出边界的看涨期权定价公式；Cox 和 Rubinstein[27]得出了向上敲出看跌期权的定价公式； Goldman[28]通过Levy 公式求解得出路径依赖期权的定价公式。Geman 和 Yor[29]通过 Laplace 变换得出双障碍期权的定价公式模型。 本章中，我们将研究一种特殊的双障碍期权。为了方便考虑，我们假设这种双障碍期权的上下边界均为常数，但不同于一般双障碍期权的是，标的资产的变化过程中，需要按照一定顺序触碰边界才能造成期权失效。实际生活中，我们可以借鉴此类模型，研究对于活跃性强的资产，在价格严重缩水时，如何保障投资者的收益。
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结论
期货合约是包含金融工具或未来交割实物商品销售的金融合约，发展于现货的远期交易。按现货标的物之种类，期货可分为商品期货与金融期货两大类。早期的期货交易方式多以交易大堂内的人工喊价为主，后来随着科技的进步、电子商务的发展，线上交易取代了人工喊价，成为了期货的主流交易方式，交易员现在通常通过计算机下单，通过平台对接完成交易匹配。 互换交易产生的基础是“背对背贷款”，是一种双方约定在一段时间内相互交换资产的金融合约。基本的互换交易主要包括利率互换、货币互换、商品互换、和股权互换。在利率互换中，固定息对浮动息互换指的是交易双方中，其中一方的现金流根据浮动利率计算，另外一方的现金流根据固定利率计算，最后双方彼此同意在未来的一定时期内根据约定种类的货币的名义本金进行交换现金流。互换的主要参与主体是国家和政府机关以及一些出口信贷机构。然而由于互换交易时限较长，未知因素过多，交易方常常发生违约，故其同样存在着利率风险和信用风险。
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参考文献（略）
