1 绪论
1.1 问题的提出及研究意义
在投资组合的计算、期权定价研究等许多金融问题中,需要根据多维时间序列之间的关系来建立多元联合分布函数。在大多数的应用中,为了便于计算,都事先假设联合分布函数服从多元正态分布或多元t分布，但这种假设在很多情况下是不成立的。由于用多元正态分布描述各金融资产间的相依结构，将要求各金融风险资产的收益率序列服从正态分布，这与金融资产收益率具有尖峰、厚尾等特性相矛盾。近来关于多个股票收益率的联合分布函数研究表明通常也不呈多元正态分布，而是非对称的相关关系。因此，在放松正态分布假设下研究投资组合理论等是非常有必要的，而且具有重要的应用价值。两个多元正态分布也能够组合成非对称的相依结构（Longin & Solnik，2001）。Patton（2006b）选取边缘分布均为标准正态分布和线性相关系数均为 ρ = 0.5构造二元联合分布函数，得到了不同的相依结构，如 Normal Copula，Clayton Copula，Gumble Copula，Symmetrised Joe-Copula 和 Plackett Copula，实证研究表明即使是相同的边缘分布和相同的线性相关系数构造的联合分布函数的相依结构也可能不同。因此，边缘分布和线性相关性也不能充分描述一个联合分布函数。标准二元t分布的（严格限制条件）必要条件是两个边缘t分布要有相同的自由度。即使边缘分布是自由度相同的 t 分布也不一定能构成一个二元 t 分布（Bollerslev，1987；Patton，2006b）。自由度相近的来自同一总体的两个t分布也有可能构成一个二元t分布(Patton，2006b）。通常两个变量的边缘分布不同，没有明显对应的二元分布存在。另外，二元t分布仅表示对称的相依结构，而金融时间序列的相依结构通常是非对称的，所以二元t分布用来描述金融现象也存在局限。向量 GARCH 模型、向量 SV 模型可用于金融市场间的相关性分析，但它们在理论上还存在许多有待解决的问题，特别是参数估计问题。另外极值理论也可以用于相关性分析，但它只集中讨论分布的尾部，因此它们在应用上受到一定的限制。以往的研究通常都集中在对相关程度的分析上，而忽略了对金融市场间的相依结构或模式的研究。事实上，具有相同相关程度的两组随机变量，可能会有不同的相关模式，因此仅用相关程度或相关模式来描述随机变量间的相关关系都是不全面的。而客观世界是非常的复杂，它们之间存在着某种复杂的关系，以至于那些现成的多元联合分布函数只表达了变量之间特定的关系，并不能很好地模拟现实中金融时间序列之间的相关性。金融市场的发展需要金融分析技术的支持，金融分析方法的不断改进又为金融的进一步发展提供了依据。现代金融正飞速发展，对金融问题的研究需要不断改进的适合实际需要的新分析方法。
1.1.2 研究意义
关于金融资产相关性分析建模这一问题，目前最常用的方法是利用 Copula 函数来构造刻画金融资产相依结构的联合分布函数。Copula 理论最早是 Sklar 在 1959年的研究中提出的，随着边缘分布建模理论的不断发展完善，以及计算机技术的迅猛发展，Copula 理论在 90 年代后期得到了迅速发展，并应用到金融领域。运用 Copula 理论，可以将变量的边缘分布和变量间的相依结构分开来研究，其中变量间的相依结构可以由一个 Copula 函数来描述，并且其中边缘分布的选择不受限制。这使实际问题大大简化,同时也有助于对很多问题的分析和理解。现有的大多数多元联合分布函数都是一元分布函数的简单延伸，而且它们通常都要求所有的边缘分布服从同样的分布如多元正态分布，多元t分布等，而 Sklar 指出可以将m 个任意形式（如正态分布、t分布、指数分布、极值分布、GARCH 类模型、SV 模型和分形等）的边缘分布通过任意 Copula 函数连接起来，生成一个有效的多元联合分布函数。
Copula 理论为构建一种全新的多变量金融时间序列模型提供了理论依据，而日趋完善的边缘分布模型以及计算机技术的迅猛发展则是多变量金融模型发展的基石。Copula 理论的提出与完善对概率论和统计学有着重要的理论意义和实践指导作用。在此之前，只能在已知多元随机变量联合分布的前提下，通过积分或求和运算得到其中某个变量的边缘分布，其逆过程(即由边缘分布确定联合分布)往往是不可行的。而现在我们可以根据已知的 Copula 函数由边缘分布确定联合分布,这样分布函数的理论就被极大地完善了。其次，常用的 Pearson 线性相关系数是线性相关的度量指标，通常只在变量的线性变换下才不会发生改变，而由 Copula 函数导出的和谐性度量的值，对于严格的单调增变换都不改变，即时间序列的边缘分布之间的相依结构与时间序列之间的相依结构相同，因此应用范围更广，适用性更强。Copula 函数可以描述变量间的非线性、非对称相关关系，特别是容易捕捉到边缘分布尾部的相关关系，为金融市场分析提供了一种分析思路与方法。Copula理论是一种定性与定量分析相结合的统计分析方法。定量刻画金融市场以及金融产品，可以对金融市场的认识更为科学真实，为实际金融投资与决策提供依据。
2 Copula 理论概述
如何有效构建多个随机变量的联合分布函数是统计研究的一个基本问题。目前常用的随机变量的联合分布函数，通常情况下是只假设随机变量服从相同的边缘分布，如正态分布或自由度相同的t分布，从而随机变量的联合分布是多元正态分布或多元t分布，这与大量金融数据具有的尖峰、厚尾等特征相矛盾，而且正态分布不能刻画金融、保险等领域的非对称相依结构及尾部相依结构，t分布也只能刻画上下尾部对称的相依结构。这显然与实际金融市场情况不符，使得建立的模型不能精确反映真实情况。鉴于此，引入 Copula 理论来构造多个随机变量的联合分布函数就显得非常重要。运用 Copula 理论，可以将变量的边缘分布与其联合分布分开来研究，并且不要求联合分布中各个变量的边缘分布服从同一分布类型，可以更加灵活的解决实际问题。本章首先介绍 Copula 函数的定义及主要性质，Copula 函数的分类，然后对可由 Copula 函数导出的相关性指标进行了深入的探讨，指出由 Copula 函数导出的一致性和相关性指标可以捕捉到变量间非线性、非对称的相关关系，特别是还可以捕捉到变量间尾部的相关关系。
3 Copula 的边缘分布函数........... 42-68
3.1 核密度函数........... 42-44
3.2 极值理论........... 44-53
3.3 波动模型 ...........53-66
3.4 本章小结 ...........66-68
4 基于 Copula 理论的多变量金融时间........... 68-80
4.1 Copula 模型........... 68-70
4.2 Copula 函数的参数估计........... 70-72
4.3 Copula 模型的拟合优度检验 ...........72-74
4.3.1 图解法 ...........72-73
4.3.2 解析法........... 73-74
4.4 基于Copula 房地产与金融行业........... 74-78
4.5 本章小结 ...........78-80
5 不同边缘分布函数的 Copula 函数的比较研究........... 80-90
5.1 非参数法........... 80-81
5.2 半参数法........... 81-82
5.3 实证分析........... 82-87
5.4 本章小结 ...........87-90
结论
本文对 Copula 理论、基于 Copula 理论的多变量金融时间序列相依性模型（包括静态 Copula 模型和动态 Copula 模型）、模型的参数估计和检验以及 Copula 模型在金融上的应用等问题进行了系统研究。在金融市场中,不同市场或者不同资产之间，往往存在着相互影响和波动的相关关系。研究这些相关关系的传统模型有多元 GARCH 模型中的 BEKK 模型、CCC模型和 DCC 模型等。本文运用 BEKK 模型对人民币利率、汇率与股票收益率的动态相关性进行实证研究。考虑到随着维数的增加，BEKK 模型的系数对经济解释的意义不够明确，因此采用了对角的三元 BEKK 模型。实证结果表明利率的波动性远大于股票和汇率的波动性。利率的变动不仅受自身前期影响并具有持续性，还受到汇率和股票收益率波动等影响。外汇市场对国内货币市场和资本市场的影响不大，这主要是我国利率市场化发展还处于初级阶段，股票市场主要受国内经济的影响较大。利率与股票收益率的联动变化方向不稳定，利率的变化可能引起股票的不同变化，说明货币政策通过调整利率控制资产价格提出了挑战。研究发现虽然 BEKK 模型等多元波动模型可用于金融资产之间和金融市场之间的相关性分析，如非对称性和动态性等，但它们在理论上还存在许多有待解决的问题，特别是参数估计问题，并且不能描述变量之间的再生相关性等特点。因此，引入Copula 函数研究经济和金融领域中的相关性具有重要的理论意义和实际意义。
在系统介绍 Copula 理论中，探讨了生成 Copula 函数与原 Copula 函数的关系，以及嵌套 Copula 函数，它表明相关性之间还可以再生相关性，从而可以构建多重相关性，这是现有的描述相关性如极值理论、BEKK 模型无法具备的特点，使得Copula 在理论研究和实际应用中越来越受到重视。根据 Copula 函数的生成原理，详细介绍了椭圆 Copulas、阿基米德 Copulas、极值 Copulas 等应用较广的 Copula函数类型。然后对 Copula 函数导出的相依性指标做了深入的讨论，指出由 Copula函数导出的一致性和相依性指标可以捕捉到变量间非线性、非对称的相关关系，还可以捕捉到变量尾部的相关关系。采用尾部相关系数与缓慢变化函数的联合生成函数法更能仔细描述尾部相关性的类型和相关强度，因此优于常用的上、下尾部的相关系数方法。Copula 函数可以描述变量间的非线性、非对称相关关系，特别是容易捕捉到分布尾部的相关关系，克服了现有的描述相关性的模型如线性相关关系、Granger因果关系、多元正态分布、多元t分布、DCC 模型和 BEKK 模型等的不足。根据Sklar 定理可知，任何 n 维联合分布函数可以分解成 n 个边缘分布函数和一个Copula，它完全能描述 n 个变量之间的相关性，并通过变量的边缘分布函数的相关性等同于变量间的相关性来刻画，这是 Copula 理论的一致性特征。反之也成立，即边缘分布函数和一个 Copula 可以构建一个联合分布函数，其中的边缘分布函数不要求是同一分布类型。Copula 理论为构建合适的联合分布函数提供新的理论基础和视角，能更加灵活的解决实际问题，弥补了现有的多元联合分布函数（如多元正态分布、多元t分布等）的局限。#p#分页标题#e#
本文主要讨论了应用较广泛的核密度函数、极值模型和波动模型（包括GARCH 类模型和 SV 模型等）等边缘分布模型。在极值模型中，主要探论了 POT模型，它是对观察值中所有超过某一充分大阈值的数据进行建模，可以有效地使用有限的极端观察值，且形式简单，便于计算。本文针对传统基于正态分布假设的 VaR 模型低估风险等问题，运用极值 POT 模型研究了中小企业板股票的极端风险，特别利用指数回归模型实现了 POT 模型中阈值的定量选取，避免了样本 Hill图在选取阈值时的不确定性。实证结果表明，指数回归模型对小样本 POT 模型的阈值选取的一种有效方法；POT 模型对中小企业板股票收益率的厚尾和非对称等特征能更好地描述，因此对极端风险的估计比正态分布更有效。研究还发现，传统基于正态分布的风险度量没有体现金融资产收益率的尖峰厚尾特征，在股票上涨时期高估风险，而在股市下跌时期低估风险。
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