工程力学论文哪里有？本文以 wei 等[48]提出的石墨烯的高次的非线性应力应变关系为依据，导出简化的碳纳米管的三次非线性本构关系。根据本文的一些结论，该非线性本构关系在研究碳纳米管时有着很重要的意义。因此，使用更高次项的本构关系建立模型，去分析碳纳米管的力学性质，将会更加准确的模拟碳纳米管的静力和动力学行为，这也是下一步的工作。
第一章 绪论
1.2 碳纳米管的一些重要性质
1.2.1 光学性质
碳纳米管具有非常优异的发光性质。比如稳定的发射光谱、非常高的发射强度，而且它还具有很好的波长转换功能等等。由于这些优异的性能使其在电致发光领域具有非常广阔的应用前景。从结构上来看，由于碳纳米管具有不同于常规晶体的特殊结构，同时也与非晶体有很大的不同。这些不同的地方主要表现界面所占的体积比例较大，界面原子之间的化学键的组态和原子的排列具有非常大的无规则性，还有它颗粒的尺寸非常小等等。这就是碳纳米管区别于常规材料的光学性质最为主要的原因。到目前为止国内外许多研究人员已经对其光学性质进行了广泛的研究[6,7,8,9]。在 2004 年，wei 等[10]一些学者制备了用宏观单壁和双壁碳纳米管的灯丝，并对其进行了一些必要测试。与传统的钨丝(36v, 40w)相比，纳米管灯泡具有几个非常有趣的特点。例如低阈值的发光电压比高电压下拥有更高的亮度。在 407、417 等处的电诱导激发峰值是碳纳米管的固有特性，在高温下这些峰在光发射光谱中变得更强了。根据这些研究成果提出了碳纳米管电灯泡的设想。该研究成果受到了一些世界著名杂志的非常高的评价—改变人类生活的成果。Dick-ey 等[11]研究员使用 CAD 法将金属钌渗入碳纳米管中来制备含有 Ru 掺杂的单壁碳纳米管阵列。这种类型的碳纳米管用荧光发射在可见光区会表现出绿色。Sun 等[12]学者研究发现把金属铕渗入进碳纳米管当中，荧光峰稍微的向长波的方向移动。可以根据这一研究成果为碳纳米管在光电子领域的应用提供了可能性。Zhang 等[13]通过使用氧化镍与二氧化硅的二元气凝胶作为催化剂，在 680°C下把甲烷催化分解 120 分钟来制备碳纳米管。通过透射电子显微镜（TEM），X 射线衍射（XRD）和拉曼光谱研究了碳纳米管的形态结构。结果表明，直径为 40-60nm 的碳纳米管表现出了高质量，均匀的直径和高的长径比的特点等。
第三章 考虑非线性本构和小初始变形的单壁碳纳米管的Bernoulli–Euler 梁模型
3.1 引言
从几何上来看，单壁碳纳米管可以看成是由石墨片层卷曲而成的另一种构型。在研究碳纳米管时，大量的研究人员在使用分子动力学法时，通常使用的某些物理学参数是采用了相对应的石墨烯的参数。比如石墨烯的键角、键长以及它的键能等等。但是这种直接取值的做法有一定的条件限制。有不少的研究表明出，如果碳纳米管的直径达到某一数值或者说其管径曲率减小到某一数值时。在弹性模量等物理学参数方面，碳纳米管与石墨烯的数值是非常接近的。否则会有较大差别，那么这两者间的一些参数就不能通用了。当石墨烯卷曲形成碳纳米管时，在卷曲的过程中，它的碳原子将不会保持在同一个平面了。那么它的 C-C-C 之间的夹角将会发生轻微的改变，不会保持在2/3，而是稍微的小于这一角度。随着卷曲形成的碳纳米管的半径改变，其夹角的变化量也是不同的。因此我们可以这样认为 C-C-C 之间的夹角的变化量与碳纳米管直径的大小有非常大的关系。根据这一特性，可以这样认为碳纳米管是石墨片层 C-C-C 夹角改变后的卷曲结构。也可以这样认为在弹性性能的方面，碳纳米管与 C-C-C 夹角改变后的石墨片层是一致的。辛浩[45]通过有限元计算得出，对于锯齿型的单壁碳纳米管，如果它的直径小于 1nm 时，随着碳纳米管的直径的减小，其各向异性程度逐渐增强。如果碳纳米管的直径大于 2nm 时，随着碳纳米管的直径的增加，它的力学性质将表现为各向同性。对于扶手椅型的碳纳米管也同样如此，所以在本章中举得一些例子全都是碳纳米管的直径大于 2nm。
从上面的叙述得知，在碳纳米管的管径较大时，在弹性模量等物理参数方面，石墨烯与碳纳米管之间的参数是可以通用的。近期的理论和实验表明，石墨烯的应力应变关系是非线性的[46,47,48]。在研究单层石墨烯片时，Lee 等[46]通过单轴实验拉伸得到了其二次非线性本构关系。之后又有不少研究人员通过理论计算得出石墨烯的更高次非线性本构关系。目前对于石墨烯的非线性应力应变关系，仍然很少被研究人员应用在碳纳米管研究里。在碳纳米管的实际应用中。往往难以避免外在因素的影响，这可能会使碳纳米管具有一定程度的小初始变形，这将对碳纳米管的力学行为有显著的影响。如黄坤等[42]使用非局部弹性理论和 Bernoulli-Euler 梁模型研究具有小初始变形的单壁碳纳米管时。通过对平衡方程的求解，发现初始变形通过增大线性振动频率来增加非线性频率，同时通过二次项的软化作用来降低频率等等。因此在研究碳纳米管时，小初始变形的影响一直是不可忽视的。
第四章 基于非线性本构的单壁碳纳米管静力特性分析
4.1 静力学分析
在此以(15,15)碳纳米管为例，它的直径 d=2.034nm，管壁的厚度 t=0.34nm，它的物理参数为：E=1TPa， D = −4.14TPa，G =6.58TPa [48]。其它参数为：
l =8nm, I =1.154n m ,I =0.953nm , A=2. 171nm
把上述数据分别代入公式(4.25)及公式(4.26)，然后把两方程联立计算，可得到均布静力外荷载作用下考虑一阶和三阶形函数的碳纳米管的变形幅值图，如图 4.2 所示。
如图 4.2 中，表示为考虑一阶形函数和三阶形函数同时存在的条件下，外荷载作用下碳纳米管的变形幅值变化的情况。从图中可以很直观的看出，外荷载作用导致了碳纳米管的结构产生变形，但它们的幅值改变量是不同的。通过在相同外荷载作用下的变形幅值的变化来看，使用非线性本构研究碳纳米管的静力变形时，比使用线性本构时的变形幅值较大。这也说明非线性本构中的非线性项软化了碳纳米管系统的刚度，这种影响会随着外激励的增加而愈加明显。
4.2本章小结
本章以石墨烯与碳纳米管的某些力学参数的相似性为切入点。使用石墨烯的非线性应力应变本构关系用在碳纳米管的研究中，再通过经典 Bernoulli-Euler 梁的平衡方程建立了具有小初始变形的碳纳米管非线性梁模型。再简化其运动平衡方程，即舍去一些对结果影响较小的高次项，然后进行无量纲化处理。再使用伽辽金法对该微分平衡方程进行求解，即使用伽辽金法进行截断，最终求出新的运动平衡方程，最后使用该方程依次对不存在初始变形和存在初始变形的碳纳米管静力和动力力学行为进行详细分析。得出来以下结论：
1、对于不存在初始变形的单壁碳纳米管。在静力弯曲时，非线性本构中的非线性项起到了刚度软化的作用，这种影响将随着外载荷的增加而愈加明显。在受迫振动时，本构中的非线性项改变了振幅分岔点的位置，这对结构振动将产生显著影响。以上得出的结论表明，对基于线性本构关系的单壁碳纳米管的研究，有必要重新检视其准确性。
2、对于存在初始变形的单壁碳纳米管。在静力弯曲时，当仅使用线性本构研究碳纳米管时，初始变形可使碳纳米管的静力变形变得复杂。当使用二次或三次非线性本构研究碳纳米管时，初始变形都对碳纳米管的静力变形起到了硬化的作用。在受迫振动时，初始变形和非线性本构中的非线性项都能改变振幅的分岔点的位置。初始变形会使碳纳米管的静力和动力学行为变得复杂，所以在碳纳米管的研究中不可忽视这一影响。
第五章 总结与展望
5.1 论文总结
基于石墨烯的非线性应力应变关系，本文导出了单壁碳纳米管的非线性本构关系。结合该本构关系与经典 Bernoulli-Euler 梁的基本理论，推导出了新的单壁碳纳米管的非线性梁模型。并给出了该模型相应的控制方程，最后对碳纳米管的各项力学行为进行分析。得到了以下结论：
(1)对于不存在初始变形的单壁碳纳米管。静力弯曲时，非线性本构中的二次和三次非线性项都对单壁碳纳米管的静力学性质产生了显著的影响。使用非线性本构研究碳纳米管静力弯曲时，相比于线性本构其弯曲的变形幅值变大了，这说明非线性本构中的非线性项诱发的几何非线性项软化了系统的刚度。这种影响会随着外荷载的增大，而变得愈加明显。受迫振动时，非线性本构中的非线性项改变了振幅分岔点的位置。在分岔点处，碳纳米管的振幅会伴随参数的轻微变化而发生突然的改变，这将对结构振动产生显著的影响。
(2)对于存在初始变形的单壁碳纳米管。在静力弯曲时，仅考虑线性本构研究碳纳米管，当初始变形与外荷载的方向一致时。在相同的外荷载作用下，相比于无初始变形的碳纳米管，具有初始变形的碳纳米管的变形幅值较小。随着初始变形程度的增加，碳纳米管静力弯曲时的变形幅值会越来越小，即初始变形增大了系统的刚度，而且随着外荷载的增加这种影响会变得越来越明显。但初始变形与外荷载的方向相反时，外荷载值小于一个临界值时同样增大了系统的刚度。但当受力大于这一临界值时弱化了系统的刚度。综上所述，初始变形使碳纳米管的静力变形变得复杂。当考虑二次或三次非线性本构研究碳纳米管时，初始变形都会对结构的变形起到了硬化作用。在受迫振动时，初始变形可以使碳纳米管的力学性质由硬非线性变为软非线性。振幅分岔点的位置的改变与非线性本构中的非线性项和初始变形有密切的关系。
(3)考查三阶形函数对碳纳米管静力学性质的影响。在相同外荷载作用下，仅考虑一阶形函数的碳纳米管的静力变形幅值与同时考虑一阶和三阶形函数的变形幅值非常接近。因此在本文碳纳米管的研究中可以忽略高阶形函数对碳纳米管静力学行为的影响。
参考文献（略）
